Задача 65758

Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Cерединный перпендикуляр и ГМТ ] [ Параллелепипеды (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

В пространстве даны три отрезка A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂, не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке P. Обозначим через O_ijk центр сферы, проходящей через точки A_i, B_j, C_k и P. Докажите, что прямые O₁₁₁O₂₂₂, O₁₁₂O₂₂₁, O₁₂₁O₂₁₂ и O₂₁₁O₁₂₂ пересекаются в одной точке.

Решение

  Для любого отрезка XY серединным перпендикуляром к этому отрезку назовём плоскость, перпендикулярную ему и проходящую через его середину, то есть геометрическое место точек, равноудалённых от X и Y.

  Все точки вида O_1jk лежат в серединном перпендикуляре α₁ к отрезку PA₁. Аналогично, все точки O_2jk лежат серединном перпендикуляре α₂ к отрезку PA₂; заметим, что  α₁ || α₂.
  Аналогично введём плоскости β_j – серединные перпендикуляры к отрезкам PB_j, и плоскости γ_k – серединные перпендикуляры к отрезкам PC_k. Тогда точки O_ijk – вершины параллелепипеда, образованного плоскостями α_i, β_j и γ_k. Теперь утверждение следует из того, что диагонали этого параллелепипеда пересекаются в одной точке – его центре симметрии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	11.2