Задача 65764

Темы:    [ Три окружности пересекаются в одной точке ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Якубов А.

В треугольнике ABC медианы AM_A, BM_B и CM_C пересекаются в точке M. Построим окружность Ω_A, проходящую через середину отрезка AM и касающуюся отрезка BC в точке MA. Аналогично строятся окружности Ω_B и Ω_C. Докажите, что окружности Ω_A, Ω_B и Ω_C имеют общую точку.

Решение

  Пусть K_A, K_B и K_C – середины отрезков AM, BM и CM соответственно (см. рис.). Тогда  M_CK_B || AM  и  K_BM_A || MC,  как средние линии треугольников ABM и CBM соответственно; значит,  ∠M_CK_BM_A = ∠AMC.  Аналогично  ∠M_CK_AM_B = ∠BMC  и  ∠M_AK_CM_B = ∠BMA; следовательно,
 ∠M_CK_AM_B + ∠M_BK_CM_A + ∠M_AK_BM_C = 360°.

  Согласно задаче 56622 описанные окружности треугольников M_CK_AM_B, M_BK_CM_A и M_AK_BM_C имеют общую точку X. При этом
∠(K_BX, XM_B) = ∠(K_BX, XM_C) + ∠(M_CX, XM_B) = ∠(K_BM_A, M_AM_C) + ∠(M_CK_A, K_AM_B) = ∠(MC, CA) + ∠(BM, MC) = ∠(BM, CA) = ∠(K_BM_B, AC).
  Это равенство означает, что окружность Ω_B проходит через точку X.
  Аналогично через X проходят окружности Ω_A и Ω_C.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2015/2016
этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	11.8