Задача 66161

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Условие

Неравнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O и описан около окружности с центром I. Точка B', симметричная точке B относительно прямой OI, лежит внутри угла ABI. Докажите, что касательные к описанной окружности треугольника BB'I, проведённые в точках B' и I, пересекаются на прямой AC.

Решение

  Пусть прямая BI вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке S, а лучи SB' и CA пересекаются в точке T (см. рис.). По лемме о трезубце (см. задачу 53119)  SA = SC = SI.  Из симметрии  ∠IB'B = ∠IBB' = φ.  Так как  OB = OB',  четырёхугольник AB'SB вписан, откуда  ∠SAB' = ∠SBB' = φ.  Заметим, что  ∠ATS = ∠СAS = ∠CBS – ∠ABB' = ∠ABS – ∠ABB' = ∠SBB' = φ.

  Таким образом, треугольники SAB' и STA подобны по двум углам, откуда  SB'·ST = SA² = SI².  Следовательно, прямая SI касается описанной окружности ω треугольника TIB'. Поэтому  ∠ITB' = ∠B'IS = 2φ.  Значит,  ∠ITA = ∠ITB' – φ = φ.
  Обозначим вторую точку пересечения окружности ω с прямой AC через K.  ∠KB'I = ∠KTI = φ = ∠IB'B.  Также  ∠KIB' = ∠KTB' = φ = ∠IB'B.  Таким образом, прямые KI и KB' касаются описанной окружности треугольника BB'I, а точка K лежит на прямой AC по построению.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2016/2017
этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	10.8