Условие
Окружность касается боковых сторон трапеции $ABCD$ в точках $B$ и $C$, а её центр лежит на $AD$. Докажите, что диаметр окружности меньше средней линии трапеции.
Решение
Пусть $O$ – центр окружности; $EF$ – её диаметр, лежащий на прямой $AD$; $G$, $H$ – проекции $B$ и $C$ на $AD$. Так как дуги $BE$ и $CF$ равны, то $\angle ABG=\angle DCH$, т.е. $AG=DH$ и трапеция равнобокая. Следовательно, ее средняя линия равна $AH=EH+AE=EH+OA-OB$. Но из подобия треугольников $OAB$ и $OBG$ получаем, что $OA-OB>OB-OG=GE=HF$, значит $AH>EH+HF=EF$.
Источники и прецеденты использования
