|
|
 |
Условие
Доказать, что если уравнения с целыми коэффициентами x² + p1x + q1, x² + p2x + q2 имеют общий нецелый корень, то p1 = p2 и q1 = q2.
Решение
Если уравнение с целыми коэффициентами x² + px + q = 0 имеет нецелый корень x1, то этот корень иррациональный (см. задачу 61013).
Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Общий корень наших уравнений имеет вид где a и b рациональны, а d – натуральное число "без квадратов" (в его разложение все простые множители входят в первой степени). Так как представление иррационального числа в таком виде единственно, то из формулы корней квадратного уравнения следует, что второй корень каждого из уравнений равен
Таким образом, наши уравнения совпадают.
Второй способ. Общий корень данных уравнений является корнем уравнения (p1 – p2)x + (q1 – q2) = 0, то есть при p1 ≠ p2 является рациональным числом. Если же p1 = p2, q1 ≠ q2, то последнее уравнение вообще корней не имеет. В обоих случаях приходим к противоречию.
