Условие
Найти наименьшее
n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в
виде пересечения
n треугольников. Докажите, что для меньших
n это можно
сделать не с любым выпуклым 100-угольником.
Решение
Ответ: n = 50.
Заметим сначала, что 50 треугольников достаточно. В самом
деле, пусть
![$ \Delta_{k}^{}$](show_document.php?id=1067331)
— треугольник, стороны которого лежат на лучах
AkAk - 1 и
AkAk + 1 и который содержит выпуклый многоугольник
A1...
A100. Тогда этот многоугольник является пересечением
треугольников
![$ \Delta_{2}^{}$](show_document.php?id=1067332)
,
![$ \Delta_{4}^{}$](show_document.php?id=1067333)
, ...,
![$ \Delta_{100}^{}$](show_document.php?id=1067334)
. С другой
стороны, 100-угольник, изображённый на рисунке, нельзя представить в виде
пересечения менее чем 50 треугольников.
![](show_document.php?id=1724369)
В самом деле, если три его
стороны лежат на сторонах одного треугольника, то одна из этих сторон
-- сторона
A1A2. Все стороны этого многоугольника лежат на
сторонах
n треугольников, поэтому
2
n + 1
![$ \ge$](show_document.php?id=1067336)
100, т.е.
n![$ \ge$](show_document.php?id=1067336)
50.
Источники и прецеденты использования