Задача 86113
|
|
 |
Условие
На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
Решение
Пусть отмечены точки A(a, f(a)) и B(b, f(b)). По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562) f(b) – f(a) = k(b – a), где число k целое. Квадрат расстояния между точками A и B равен (b – a)² + (f(b) – f(a))² = (b – a)²(1 + k²). По условию это полный квадрат. Но тогда и
1 + k² – полный квадрат, что возможно только при k = 0.
Замечания
4 балла
