|
|
 |
Условие
Имеется набор из 20 гирь, с помощью которых можно взвесить любой целый вес
от 1 до 1997 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Каков минимально возможный вес самой тяжелой гири такого набора, если:
а) веса гирь набора все целые,
б) веса не обязательно целые?
Решение
Упорядочим веса гирь (в граммах) по возрастанию: p0 ≤ p1 ≤ ... ≤ p19. Ясно, что p0 ≤ 1 (иначе нельзя взвесить груз в 1 г). Аналогично p1 ≤ 2 (чтобы взвесить 2 г). Так как этих двух гирь недостаточно, чтобы взвесить 4 г, то p2 ≤ 4 = 2². Продолжая подобные рассуждения, мы дойдём до неравенства p7 ≤ 128 = 27.
а) Вес восьми самых лёгких гирь не превышает 1 + 2 + 2² + ... + 27 = 255. Вес оставшихся 12 (тяжёлых) гирь не меньше 1997 – 255 = 1742, и следовательно, вес самой тяжёлой не меньше 1742 : 12 > 145.
С другой стороны, набор из гирь по 1, 2, 4, ..., 128 г, десяти гирь по 145 г и двух гирь по 146 г удовлетворяет условиям задачи, так как с помощью гирь по 1, 2, 4, ..., 128 г можно составить любой вес от 1 до 255 г (см. зад. 30839).
б) Предположим, что самая тяжёлая гиря весит меньше 145,25 г. Тогда общий вес 12 тяжёлых гирь меньше 145,25·12 = 1743. Поскольку
p0 + ... + p6 ≤ 127, то p7 > 1997 – 1743 – 127 = 127. Значит, 127 < p7 ≤ 128.
Следовательно, при взвешивании 127 г гирю веса p7 использовать нельзя. Но p0 + … + p6 = 127 только в случае p0 = 1, p1 = 2, ..., p6 = 64, значит, все эти равенства выполнены, в частности, p0 + p7 > 128. В то же время p8 > 1997 – 255 – 11·146 > 128. Значит, p7 = 128 (иначе нельзя взвесить 128 г), то есть все лёгкие гири имеют целочисленный вес, их общий вес равен 255, а вес всех тяжелых гирь не меньше 1997 – 255 = 1742.
Попробуем взвесить груз 700 г. Нам придётся использовать ровно четыре тяжёлые гири. Действительно, трёх недостаточно (255 + 3·146 < 700), а пяти слишком много: любые пять тяжёлых гирь весят больше чем 1742 – 7·146 = 720. Общий вес этих четырёх гирь – целое число. Если оно не меньше 581, то одна из этих четырёх гирь весит не менее 581 : 4 = 145,25. Если же оно не больше 580, то вес одной из оставшихся восьми тяжёлых гирь не меньше
(1742 – 580) : 8 = 145,25. Итак, в любом случае, вес самой тяжёлой гири не меньше 145,25 г. Противоречие.
С другой стороны, нас устраивает набор, состоящий из гирь по 1, 2, 4, ..., 128 г, четырёх гирь по 145 г и восьми гирь по 145,25 г. При этом гири
по 145,25 г используются только в связках по четыре (вес такой связки 581 г). Любой целочисленный груз до 255 г можно взвесить с помощью восьми лёгких гирь. Если вес груза находится в пределах от 1 до 835 = 255 + 4·145, то используется нужное число гирь по 145 г. Добавляя одну или две связки, можно получить любой вес от 1 до 2·581 + 835 = 1997 г.
Ответ
а) 146 г; б) 145,25 г.
Замечания
баллы: 3 + 3
