Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 87]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки,
лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем 
.
Квадрат ABCD и окружность 
пересекаются в восьми точках так,
что образуются четыре криволинейных треугольника: AEF, BGH, CIJ,
DKL (EF, GH, IJ, KL — дуги окружности). Докажите, что
а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;
б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна
сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.
а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся две хорды одинаковой длины?
б) 20 точек, делящие окружность на 20 равных дуг, попарно соединены 10 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины?
Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8
равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных
сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены
в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей черных клеток
равна сумме площадей белых клеток.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.
Страница:
<< 10 11 12 13
14 15 16 >> [Всего задач: 87]
Все авторы
>>
Произволов В.В. 
