Версия для печати
Убрать все задачи

---

Петя и Вася нашли $100$ кубиков одинакового размера, $50$ из них были белого цвета и $50$ – чёрного. Они придумали игру. Назовём башенкой один или несколько кубиков, стоящих друг на друге. В начале игры все кубики лежат по одному, то есть имеется $100$ башенок. За один ход игрок должен одну из башенок поставить на другую (переворачивать башенки нельзя), при этом в новой башенке не должно быть подряд двух одинаковых по цвету кубиков. Ходят по очереди, начинает Петя. Кто не может сделать ход – проиграл. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

   Решение

---

Высоты остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Пусть $P$ – произвольная точка внутри (и не на сторонах) треугольника $ABC$, лежащая на описанной окружности треугольника $ABH$, и $A'$, $B'$, $C'$ – проекции точки $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Докажите, что описанная окружность треугольника $A'B'C'$ проходит через середину отрезка $CP$.

   Решение

---

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97940  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Деление с остатком ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Докажите, что предпоследняя цифра любой степени числа 3 чётна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54582  (#2)

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что  ∠AMD + ∠BMC = 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97942  (#3)

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Деление с остатком ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Двое играющих по очереди увеличивают натуральное число так, чтобы при каждом увеличении разность между новым и старым значениями числа была бы больше нуля, но меньше старого значения. Начальное значение числа равно 2. Выигравшим считается тот, в результате хода которого получится 1987. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его партнёр?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108024  (#4)

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Построения ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Дана выпуклая фигура, ограниченная дугой A окружности и ломаной ABC так, что дуга и ломаная лежат по разные стороны от хорды AC.
Через середину дуги AC проведите прямую, делящую площадь фигуры пополам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97944  (#5)

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что   a⁴ + b⁴ + c⁴ ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).
  а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
  б) Докажите, что   a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca).
  в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями