Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]

Задача 58175 (#23.015B)

Темы:	[	Эйлерова характеристика	]
Темы:	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.

Прислать комментарий Решение

Задача 79493 (#23.016)

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
Темы:	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.

Прислать комментарий Решение

Задача 58177 (#23.017)

Тема:

[

Инварианты

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.

Прислать комментарий Решение

Задача 58178 (#23.018)

Тема:

[

Инварианты

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Докажите, что выпуклый многоугольник нельзя разрезать на конечное число невыпуклых четырехугольников.

Прислать комментарий Решение

Задача 58179 (#23.019)

Тема:

[

Инварианты

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Даны точки A₁,..., A_n. Рассмотрим окружность радиуса R, содержащую некоторые из них. Построим затем окружность радиуса R с центром в центре масс точек, лежащих внутри первой окружности, и т. д. Докажите, что этот процесс остановится, т. е. окружности начнут совпадать.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]