Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65047  (#21)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На окружности с диаметром AC выбрана произвольная точка B, отличная от A и C. Пусть M, N – середины хорд AB, BC, а P, Q – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые AQ и BC пересекаются в точке K, а прямые CP и AB – в точке L.
Докажите, что прямые MQ, NP и KL пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65048  (#22)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Из вершины C треугольника ABC проведены касательные CX, CY к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.
Докажите, что прямые XY, AB и касательная в точке C к описанной окружности треугольника ABC, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65049  (#23)

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Решение задач при помощи аффинных преобразований ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Точка A' – середина отрезка, соединяющего проекции A₁ на AB и AC. Аналогично определяются точки B' и C'.
  а) Докажите, что A', B' и C' лежат на некоторой прямой l'.
  б) Докажите, что, если l проходит через центр описанной окружности треугольника ABC, то l' проходит через центр его окружности девяти точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65050  (#24)

Темы:   [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Треугольник (построения) ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Дан остроугольный треугольник ABC.
Найдите на сторонах BC, CA, AB такие точки A', B', C', чтобы наибольшая сторона треугольника A'B'C' была минимальна.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65051  (#25)

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Движение помогает решить задачу ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5- Классы: 10,11

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями