Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны числа а₁, ..., а_n.
Для 1 ≤ i ≤ n положим

d_i = MAX { a_j | 1 ≤ j ≤ i } - MIN { a_j | i ≤ j ≤ n }
d = MAX { dⁱ | 1 ≤ i ≤ n }

а) Доказать, что для любых x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n выполняется неравенство

MAX { |x_i - a_i| | 1 ≤ i ≤ n } ≥ d/2.

б) Доказать, что равенство в (*) выполняется для некоторых {x_i} i=1...n

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 84]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58508  (#31.041)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Точки A и B лежат на гиперболе. Прямая AB пересекает асимптоты гиперболы в точках A₁ и B₁.
а) Докажите, что AA₁ = BB₁ и AB₁ = BA₁.
б) Докажите, что если прямая A₁B₁ касается гиперболы в точке X, то X — середина отрезка A₁, B₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58509  (#31.042)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Докажите, что окружность девяти точек треугольника ABC, вершины которого лежат на равнобочной гиперболе, проходит через центр O гиперболы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58510  (#31.043)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Вершины треугольника лежат на гиперболе xy = 1. Докажите, что его ортоцентр тоже лежит на этой гиперболе.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58511  (#31.044)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Окружность радиуса 2 с центром (x₀, x₀^-1) пересекает гиперболу xy = 1 в точке (- x₀, - x₀^-1) и в точках A, B, C. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58512  (#31.045)

Тема:   [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10

Докажите, что асимптоты гиперболы

ортогональны тогда и только тогда, когда a + c = 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 84]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями