Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 84]

Задача 58518 (#31.051)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть точки A, B, C и D лежат на конике, заданной уравнением второй степени f = 0. Докажите, что

f = $\displaystyle \lambda$ l_ABl_CD + $\displaystyle \mu$ l_BCl_AD,

где $\lambda$ и $\mu$ — некоторые числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58519 (#31.052)

Темы:	[	Кривые второго порядка	]
	[	Алгебраические кривые	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Докажите, что если вершины шестиугольника ABCDEF лежат на одной конике, то точки пересечения продолжений его противоположных сторон (т. е. прямых AB и DE, BC и EF, CD и AF) лежат на одной прямой (Паскаль).

Прислать комментарий Решение

Задача 58520 (#31.053)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

а) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной конике. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABCDEF, ADEBCF и ADCFEB пересекаются в одной точке (Штейнер).
б) Пусть точки A, B, C, D, E и F лежат на одной окружности. Докажите, что тогда прямые Паскаля шестиугольников ABFDCE, AEFBDC и ABDFEC пересекаются в одной точке (Киркман).

Прислать комментарий Решение

Задача 58521 (#31.054)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть хорды KL и MN проходят через середину O хорды AB. Докажите, что прямые KN и ML пересекают прямую AB в точках, равноудаленных от точки O.

Прислать комментарий Решение

Задача 58522 (#31.055)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть стороны самопересекающихся четырехугольников KLMN и K'L'M'N', вписанных в одну и ту же окружность, пересекают хорду AB этой окружности в точках P, Q, R, S и P', Q', R', S' соответственно (сторона KL — в точке P, LM — в точке Q, и т. д.). Докажите, что если три из точек P, Q, R, S совпадают с соответственными тремя из точек P', Q', R', S', то и оставшиеся две точки тоже совпадают. (Предполагается, что хорда AB не проходит через вершины четырехугольников.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 84]