Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111878  (#08.5.9.2)

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111879  (#08.5.9.3)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Удвоение медианы ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведёнными прямыми, лежит на прямой MH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111880  (#08.5.9.4)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Покрытия ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее x часов  (x > 4).  Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от x)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111881  (#08.5.9.5)

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Наибольшая или наименьшая длина ] [ Метод координат на плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Расстоянием между двумя клетками бесконечной шахматной доски назовём минимальное число ходов в пути короля между этими клетками. На доске отмечены три клетки, попарные расстояния между которыми равны 100. Сколько существует клеток, расстояния от которых до всех трёх отмеченных равны 50?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111882  (#08.5.9.6)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Вневписанные окружности ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках X и Y соответственно. Точка K– середина дуги AB описанной окружности треугольника ABC (не содержащей точки C). Оказалось, что прямая XY делит отрезок AK пополам. Чему может быть равен угол BAC?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями