Страница: 1
2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача
115365
(#06.4.9.1)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9
|
Даны квадратные трёхчлены x² + 2a1x + b1, x² + 2a2x + b2, x² + 2a3x + b3. Известно, что a1a2a3 = b1b2b3 > 1.
Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня.
Задача
115366
(#06.4.9.2)
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Семь лыжников с номерами 1, 2, ... , 7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию – каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют
ровно два лыжника – тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.
Задача
115367
(#06.4.9.3)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Можно ли при каком-то натуральном
k разбить все натуральные числа от 1 до
k на две группы и выписать числа
в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы
получились два одинаковых числа?
Задача
115368
(#06.4.9.4)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9
|
В треугольнике
ABC угол
A равен
60
o . Пусть
BB1 и
CC1 —
биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка,
симметричная вершине A относительно прямой
B1C1 , лежит на стороне
BC .
Задача
65072
(#06.4.9.5)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9
|
Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.
Страница: 1
2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
