Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]

Задача 116723

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Голубев К.

В равностороннем треугольнике ABC провели высоту AH. В треугольнике ABH отметили точку I пересечения биссектрис. В треугольниках ABI, BCI и CAI тоже отметили точки пересечения биссектрис – L, K и J соответственно. Найдите угол KJL.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116688

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]
	[	Соображения непрерывности	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116397

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Произволов В.В.

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116729

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Ряды с неотрицательными членами	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Бердников А.

а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.

б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116730

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Кноп К.А.

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него в итоге не оказалось
100 кучек по одному камешку. Докажите, что
а) в какой-то момент в каких-то 30 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
б) в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков;
в) Костя мог действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 45]