Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]

Задача 116768 (#10.6)

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Сендеров В.А.

Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 10¹⁰, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116769 (#10.7)

Темы:	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Карасев Р.

На координатной плоскости нарисовано n парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более 2(n – 1) углов (то есть точек пересечения пары парабол).

Прислать комментарий

Решение

Задача 116770 (#10.8)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Емельянов Л.А.

Точка E – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника ABC с его вершиной A. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон AB и AC в точках C' и B' соответственно. Докажите, что точка F, симметричная точке E относительно прямой B'C', лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]