Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 176]

Задача 56966 (#05.114)

Тема:

[

Прямая Эйлера и окружность девяти точек

]

Сложность: 7
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁ и CC₁. Пусть A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ — диаметры окружности девяти точек треугольника ABC. Докажите, что прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке (или параллельны).

Прислать комментарий Решение

Задача 56967 (#05.115)

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что $\angle$ ABP = $\angle$ CAP = $\angle$ BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA₁B, CAB₁ и C₁AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).

Прислать комментарий Решение

Задача 56968 (#05.116)

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Через точку Брокара P треугольника ABC проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что $\triangle$ ABC = $\triangle$ B₁C₁A₁.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)

Прислать комментарий Решение

Задача 56969 (#05.117)

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол $\varphi$ = $\angle$ ABP = $\angle$ BCP = $\angle$ CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что ctg $\varphi$ = ctg $\alpha$ + ctg $\beta$ + ctg $\gamma$ .
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A₁. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A₁AC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56970 (#05.118)

Тема:

[

Точки Брокара

]

Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника не превосходит 30^o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит 30^o.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 176]