Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри треугольника ABC взята точка O; прямые AO, BO и CO пересекают его стороны в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а)  + + = 1;
б)  ^{. .} = 1.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65725  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 до 1000000 включительно (в некотором произвольном порядке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры в каждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке ни выписывались числа, на кусочках встретятся все двузначные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65726  (#2)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Существуют ли такие целые числа a и b, что
  а) уравнение  x² + ax + b = 0  не имеет корней, а уравнение  [x²] + ax + b = 0 имеет?
  б) уравнение  x² + 2ax + b = 0  не имеет корней, а уравнение  [x²] + 2ax + b = 0  имеет?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65727  (#3)

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100 равных четырёхугольников, каждый из которых вписан в окружность диаметра  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65728  (#4)

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Художник-абстракционист взял деревянный куб 5×5×5, разбил каждую грань на единичные квадраты и окрасил каждый из них в один из трёх цветов – чёрный, белый или красный – так, что нет соседних по стороне квадратов одного цвета. Какое наименьшее число чёрных квадратов могло при этом получиться? (Квадраты, имеющие общую сторону, считаются соседними и в случае, когда они лежат на разных гранях куба.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65729  (#5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число, большее 10^k. Взяли число, кратное p, и вставили между какими-то двумя его соседними цифрами k-значное число A. Получили число, кратное p. В него вставили k-значное число B – между двумя соседними цифрами числа A, – и результат снова оказался кратным p. Докажите, что число B получается из числа A перестановкой цифр.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями