Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66215  (#12)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Радикальная ось ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

AA₁, BB₁, CC₁ – высоты треугольника ABC,  B₀ – точка пересечения BB₁ и описанной окружности Ω, Q – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника A₁C₁B₀. Докажите, что BQ – симедиана треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66216  (#13)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Две окружности пересекаются в точках A и B. Третья окружность касается их обеих и пересекает прямую AB в точках C и D.
Докажите, что касательные к ней в этих точках параллельны общим касательным к двум первым окружностям.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66217  (#14)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На окружности радиуса R с диаметром AD и центром O выбраны точки B и С по одну сторону от этого диаметра. Около треугольников ABO и CDO описаны окружности, пересекающие отрезок BC в точках F и E. Докажите, что  AF·DE = R².

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66218  (#15)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В остроугольный треугольник ABC вписана окружность с центром I, касающаяся сторон AB, BC и CA в точках D, E и F соответственно. В четырёхугольники ADIF и BDIE вписаны окружности с центрами J₁ и J₂ соответственно. Прямые J₁J₂ и AB пересекаются в точке M. Докажите. что  CD ⊥ IM.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66219  (#16)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Подерный (педальный) треугольник ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и B пересекаются в точке D. Окружность, проходящая через проекции D на прямые BC, CA, AB, повторно пересекает AB в точке C'. Аналогично строятся точки A', B'. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями