Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 66306 (#9.1)

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Прямая l, проходящая через середину стороны AB и параллельная AC, пересекает дугу AB, не содержащую C, в точке K. Докажите, что отношение AK : BK равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66307 (#9.2)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Авторы: Берлов С.Л., Шарич В.

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что ∠AIM = 90°. В каком отношении точка I делит отрезок CW?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66308 (#9.3)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Mudgal A.

В остроугольном треугольнике ABC углы B и C больше 60°. Точки P, Q на сторонах AB, AC таковы, что A, P, Q и ортоцентр треугольника H лежат на одной окружности; K – середина отрезка PQ. Докажите, что ∠BKC > 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66309 (#9.4)

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Окружность Аполлония	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Mahdi Etesami Fard

Точка D лежит на основании BC равнобедренного треугольника ABC, а точки M и K – на его боковых сторонах AB и AC соответственно, причём AMDK – параллелограмм. Прямые MK и BC пересекаются в точке L. Перпендикуляр к BC, восставленный из точки D, пересекает прямые AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что окружность с центром L, проходящая через D, касается описанной окружности треугольника AXY.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66310 (#9.5)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Кожевников П.А.

Пусть BH_b, CH_c – высоты треугольника ABC. Прямая H_bH_c пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точках X и Y. Точки P и Q симметричны X и Y относительно AB и AC соответственно. Докажите, что PQ || BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]