Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66313  (#9.8)

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Пусть AK и BL – высоты остроугольного треугольника ABC, а Ω – вневписанная окружность ABC, касающаяся стороны AB. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника CKL и окружности Ω пересекают прямую AB в точках P и Q. Докажите, что  AP = BQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66321  (#10.8)

Темы:   [ Системы точек ] [ Четность и нечетность ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 10

На плоскости дано множество S, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что S можно разбить на два множества X и Y так, что выпуклые оболочки  conv X  и  conv Y  имеют поровну вершин.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66212  (#9)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В прямоугольном треугольнике ABC точка C₀ – середина гипотенузы AB, AA₁, BB₁ – биссектрисы, I – центр вписанной окружности.
Докажите, что прямые C₀I и A₁B₁ пересекаются на высоте CH.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66213  (#10)

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD выбраны точки K и L соответственно так, что  ∠AKD = ∠CLD.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника BKL равноудален от A и C.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66214  (#11)

Темы:   [ Системы точек ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На плоскости отмечено несколько точек, причём не все эти точки лежат на одной прямой. Вокруг каждого треугольника с вершинами в отмеченных точках описана окружность. Могут ли центры всех этих окружностей оказаться отмеченными точками?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями