Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98264  (#1)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Существует ли такая сфера, на которой имеется ровно одна рациональная точка? (Рациональная точка – точка, у которой все три декартовы координаты – рациональные числа.)

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98265  (#2)

Темы:   [ Раскраски ] [ Призма (прочее) ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

При каких n можно раскрасить в три цвета все ребра n-угольной призмы (основания – n-угольники) так, что в каждой вершине сходятся все три цвета и у каждой грани (включая основания) есть стороны всех трёх цветов?

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107786  (#3)

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка K лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведённых к этим окружностям из точки K, равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98267  (#4)

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На координатной плоскости отмечены некоторые точки с целыми координатами. Известно, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся круг радиуса 1995, в котором не отмечено ни одной точки.

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98268  (#5)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Итерации ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

а) Разбейте отрезок  [0, 1]  на чёрные и белые отрезки так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку  (a, b)  называется число  p(b) – p(a).)

б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?

 

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями