Версия для печати
Убрать все задачи

---

На квадратном торте расположены треугольные шоколадки, которые не соприкасаются между собой. Всегда ли можно разрезать торт на выпуклые многоугольники так, чтобы каждый многоугольник содержал ровно одну шоколадку? (Торт считайте плоским квадратом.)

   Решение

---

Существует ли треугольник, который можно разрезать: а) на 3 равных треугольника, подобных исходному?; б) на 5 треугольников, подобных исходному (не обязательно равных)?

   Решение

---

Первоначально даны четыре одинаковых прямоугольных треугольника. Каждым ходом один из имеющихся треугольников разрезается по высоте (выходящей из прямого угла) на два других. Докажите, что после любого количества ходов среди треугольников найдутся два одинаковых.

   Решение

---

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты остроугольного треугольника ABC, O_A, O_B, O_C – центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98574

Темы:   [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Верно ли, что на графике функции  y = x³  можно отметить такую точку A, а на графике функции  y = x³ + |x| + 1  – такую точку B, что расстояние AB не превысит ¹/₁₀₀?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105130

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Процессы и операции ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В ряд расположили n лампочек и зажгли некоторые из них. Каждую минуту после этого все лампочки, горевшие на прошлой минуте, гаснут, а те негоревшие лампочки, которые на прошлой минуте соседствовали ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких n можно так зажечь некоторые лампочки в начале, чтобы потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая лампочка?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105135

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он может рассадить всех на свои места?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108118

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Средняя линия треугольника ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E и F являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AE, AF и EF делят четырёхугольник на четыре треугольника, площади которых равны (в каком-то порядке) последовательным натуральным числам. Каково наибольшее возможное значение площади треугольника ABD?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108119

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Шестиугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты остроугольного треугольника ABC, O_A, O_B, O_C – центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями