Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 109551 (#94.5.11.1)

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Даны такие натуральные числа a и b, что число ^a+1/_b + ^b+1/_a является целым.
Докажите, что наибольший общий делитель чисел a и b не превосходит числа .

Прислать комментарий

Решение

Задача 109552 (#94.5.11.2)

Темы:	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]
	[	Произвольные многоугольники	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Внутри выпуклого стоугольника выбрано k точек, 2 k 50 . Докажите, что можно отметить 2k вершин стоугольника так, чтобы все выбранные точки оказались внутри 2k -угольника с отмеченными вершинами.

Прислать комментарий Решение

Задача 109553 (#94.5.11.3)

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Калинин А.

Две окружности S₁ и S₂ касаются внешним образом в точке F. Их общая касательная касается S₁ и S₂ в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная AB, касается окружности S₂ в точке C и пересекает окружность S₁ в точках D и E. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников ABC и BDE, проходит через точку F.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109554 (#94.5.11.4)

Темы:	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Композиция параллельных переносов	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Соловьев И.

В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.

Прислать комментарий Решение

Задача 109555 (#94.5.11.5)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Дана последовательность натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n, в которой a₁ не делится на 5 и для всякого n a_n+1 = a_n + b_n, где b_n – последняя цифра числа a_n. Докажите, что последовательность содержит бесконечно много степеней двойки.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]