Страница:
<< 4 5 6 7 8
9 10 >> [Всего задач: 48]
Задача
109561
(#94.5.10.5)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
|
Докажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство [k, m][m, n][n, k] ≥ [k, m, n]².
Задача
109562
(#94.5.10.6)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых
f(x) = g(y), через n – число пар, для которых f(x) = f(y), а через k – число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m ≤ n + k.
Задача
108205
(#94.5.10.7)
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Каждая из окружностей
S1
,
S2
и
S3
касается внешним образом окружности
S (в точках
A1
,
B1
и
C1
соответственно) и двух
сторон треугольника
ABC (см.рис.). Докажите, что
прямые
AA1
,
BB1
и
CC1
пересекаются
в одной точке.
Задача
109564
(#94.5.10.8)
|
|
Сложность: 5
Классы: 10
|
В классе 30 учеников, и у каждого из них одинаковое число друзей среди одноклассников. Каково наибольшее возможное число учеников, которые учатся лучше большинства своих друзей? (Про любых двух учеников в классе можно сказать, кто из них учится лучше; если A учится лучше B, а тот – лучше C, то A учится лучше C.)
Задача
109551
(#94.5.11.1)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Даны такие натуральные числа
a и
b, что число
a+1/
b +
b+1/
a является целым.
Докажите, что наибольший общий делитель чисел
a и
b не превосходит числа
.
Страница:
<< 4 5 6 7 8
9 10 >> [Всего задач: 48]
Фильтр
Решение 
