Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Решение
Плоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата n ×n, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата 100×100 , состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате 100× 100 .)
Решение
Решение
Убрать все задачи
Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
РешениеПлоскость разбита двумя семействами параллельных прямых на единичные квадратики. Назовем каемкой квадрата n ×n, состоящего из квадратиков разбиения, объединение тех квадратиков, которые хотя бы одной из своих сторон примыкают изнутри к его границе. Докажите, что существует ровно один способ покрытия квадрата 100×100 , состоящего из квадратиков разбиения, неперекрывающимися каемками пятидесяти квадратов. (Каемки могут и не содержаться в квадрате 100× 100 .)
РешениеДокажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство [k, m][m, n][n, k] ≥ [k, m, n]².
Решение
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Пусть a , b и c – стороны треугольника, ma , mb
и mc – медианы, проведённые к этим сторонам, D –
диаметр окружности, описанной около треугольника. Докажите,
что
+ 
+
6D.
Каждая из окружностей S1 , S2 и S3
касается внешним образом окружности S (в точках
A1 , B1 и C1 соответственно) и двух
сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что
прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются
в одной точке.
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Задача 108204 (#94.5.10.3) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109560 (#94.5.10.4) |
|
|
В правильном (6n+1)-угольнике K вершин покрашено в красный цвет, а остальные – в синий.
Докажите, что количество равнобедренных треугольников с одноцветными вершинами не зависит от способа раскраски.
|
|
|
Решение |
Задача 109561 (#94.5.10.5) |
|
|
Докажите, что для натуральных чисел k, m и n справедливо неравенство [k, m][m, n][n, k] ≥ [k, m, n]².
|
|
|
Решение |
Задача 109562 (#94.5.10.6) |
|
|
Функции f(x) и g(x) определены на множестве целых чисел, не превосходящих по модулю 1000. Обозначим через m число пар (x, y), для которых
f(x) = g(y), через n – число пар, для которых f(x) = f(y), а через k – число пар, для которых g(x) = g(y). Докажите, что 2m ≤ n + k.
|
|
|
Решение |
Задача 108205 (#94.5.10.7) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
