Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]

Задача 109600 (#95.5.11.6)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ню В.

На карусели с n сиденьями мальчик катался n сеансов подряд. После каждого сеанса он вставал и, двигаясь по часовой стрелке, пересаживался на другое сиденье. Число сидений карусели, мимо которых мальчик проходит при пересаживании, включая и то, на которое он садится, назовём длиной перехода. При каких n за n сеансов мальчик мог побывать на каждом сиденье, если длины всех n – 1 переходов различны и меньше n?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109601 (#95.5.11.7)

Темы:	[	Высота пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке.
Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении 2 : 1, считая от вершин, лежат на одной сфере.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109607 (#95.5.11.8)

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Галочкин А.И., Ляшко О.

Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 48]