Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 109675 (#98.5.10.8)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Симметрия и инволютивные преобразования	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Любшин Д.

В каждую клетку квадратной таблицы размера (2ⁿ – 1)×(2ⁿ – 1) ставится одно из чисел 1 или – 1. Расстановку чисел назовём удачной, если каждое число равно произведению всех соседних с ним (соседними считаются числа, стоящие в клетках с общей стороной). Найдите число удачных расстановок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109668 (#98.5.11.1)

Темы:	[	Теорема Виета	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Кубические многочлены	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

Прямые, параллельные оси Ox, пересекают график функции y = ax³ + bx² + cx + d: первая – в точках A, D и E, вторая – в точках B, C и F (см. рис.). Докажите, что длина проекции дуги CD на ось Ox равна сумме длин проекций дуг AB и EF.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109661 (#98.5.11.2)

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Трапеции (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон BC, CA, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ – середины дуг BAC, CBA, ACB описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂ и C₁C₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109662 (#98.5.11.3)

Темы:	[	Свойства параллельного переноса	]
	[	Метод ГМТ	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Дольников В.Л., Карасев Р.

На плоскости нарисовано некоторое семейство S правильных треугольников, получающихся друг из друга параллельными переносами, причем любые два треугольника пересекаются. Докажите, что найдутся три точки такие, что любой треугольник семейства S содержит хотя бы одну из них.

Прислать комментарий Решение

Задача 109663 (#98.5.11.4)

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Степень вершины	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Карпов Д.В., Карасев Р.

В стране N 1998 городов, и из каждого осуществляются беспосадочные перелеты в три других города (все авиарейсы двусторонние). Известно, что из каждого города, сделав несколько пересадок, можно долететь до любого другого. Министерство Безопасности хочет объявить закрытыми 200 городов, никакие два из которых не соединены авиалинией. Докажите, что это можно сделать так, чтобы можно было долететь из каждого незакрытого города в любой другой, не делая пересадок в закрытых городах.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]