Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости даны два таких конечных набора P₁ и P₂ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109732  (#01.5.11.3)

Темы:   [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

На плоскости даны два таких конечных набора P₁ и P₂ выпуклых многоугольников, что любые два многоугольника из разных наборов имеют общую точку и в каждом из двух наборов P₁ и P₂ есть пара непересекающихся многоугольников. Докажите, что существует прямая, пересекающая все многоугольники обоих наборов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109733  (#01.5.11.4)

Темы:   [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Системы линейных уравнений ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Участникам тестовой олимпиады было предложено n вопросов. Жюри определяет сложность каждого из вопросов: целое положительное количество баллов, получаемых участниками за правильный ответ на вопрос. За неправильный ответ начисляется 0 баллов, все набранные участником баллы суммируются. Когда все участники сдали листки со своими ответами, оказалось, что жюри так может определить сложность вопросов, чтобы места между участниками распределились любым наперед заданным образом. При каком наибольшем числе участников это могло быть?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109734  (#01.5.11.5)

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Производная и касательная ] [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Приведенные квадратные трёхчлены  f(x) и g(x) принимают отрицательные значения на непересекающихся интервалах.
Докажите, что найдутся такие положительные числа α и β, что для любого действительного x будет выполняться неравенство αf(x) + βg(x) > 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109735  (#01.5.11.6)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

a и b – такие различные натуральные числа, что  ab(a + b)  делится на  a² + ab + b².  Докажите, что  |a – b| > .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109736  (#01.5.11.7)

Темы:   [ Степень вершины ] [ Раскраски ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов D доминирующим, если каждый не входящий в D город соединён дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на  2001 – k  республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями