Этапы:
-
Региональный этап
(30 задач)
Заключительный этап
(22 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]
Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются
в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов.
Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком
лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не
обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)
Юра выложил в ряд 2001 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось,
что между любыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между
любыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между
любыми двумя трехкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько у Юры
могло быть трехкопеечных монет?
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]
Задача 109748 (#01.5.9.4) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 109749 (#01.5.9.5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109750 (#01.5.9.6) |
|
|
В компании из 2n + 1 человека для любых n человек найдётся отличный от них человек, знакомый с каждым из них.
Докажите, что в этой компании есть человек, знающий всех.
|
|
|
Решение |
Задача 108141 (#01.5.9.7) |
|
На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной окружности треугольника ABC лежит на описанной окружности треугольника KBM.
|
|
|
Решение |
Задача 109752 (#01.5.9.8) |
|
|
Найдите все такие нечётные натуральные n > 1, что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число a + b – 1 также является делителем n.
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 56]
