Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]

Задача 109742 (#01.5.10.6)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 108143 (#01.5.10.7)

Темы:	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 , отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1 , BCA1 , CAB1 равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1 , проходит через точку H .

Прислать комментарий Решение

Задача 109744 (#01.5.10.8)

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Джукич Д.

Найдите все такие натуральные числа n, что для любых двух его взаимно простых делителей a и b число a + b – 1 также является делителем n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]