Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 64]

Задача 111768 (#07.4.11.7)

Темы:	[	Неравенства с объемами	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Объем тетраэдра и пирамиды	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Объем параллелепипеда	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в м³ ) численно равен площади его поверхности (измеренной в м² ). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?

Прислать комментарий Решение

Задача 111769 (#07.4.11.8)

Темы:	[	Неравенство Коши	]
	[	Замена переменных	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

Для положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 111850 (#07.5.8.1)

Тема:

[

Исследование квадратного трехчлена

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Подлипский О.К.

Даны числа a, b, c.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений x² + (a – b)x + (b – c) = 0, x² + (b – c)x + (c – a) = 0, x² + (c – a)x + (a – b) = 0 имеет решение.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111851 (#07.5.8.2)

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111852 (#07.5.8.3)

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Авторы: Берлов С.Л., Петров Ф., Акопян А.В.

На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M. Прямые, проведённые через M перпендикулярно диагоналям BD и AC, пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB, QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение BM : MC?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 64]