Версия для печати
Убрать все задачи

---

Даны числа a, b, c.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений  x² + (a – b)x + (b – c) = 0,  x² + (b – c)x + (c – a) = 0,  x² + (c – a)x + (a – b) = 0  имеет решение.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111768  (#07.4.11.7)

Темы:   [ Неравенства с объемами ] [ Неравенства с площадями ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Объем параллелепипеда ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Назовем многогранник хорошим, если его объем (измеренный в м³ ) численно равен площади его поверхности (измеренной в м² ). Можно ли какой-нибудь хороший тетраэдр разместить внутри какого-нибудь хорошего параллелепипеда?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111769  (#07.4.11.8)

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Замена переменных ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Для положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111850  (#07.5.8.1)

Тема:   [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Даны числа a, b, c.
Докажите, что хотя бы одно из уравнений  x² + (a – b)x + (b – c) = 0,  x² + (b – c)x + (c – a) = 0,  x² + (c – a)x + (a – b) = 0  имеет решение.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111851  (#07.5.8.2)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В клетках таблицы 10×10 произвольно расставлены натуральные числа от 1 до 100, каждое по одному разу. За один ход разрешается поменять местами любые два числа. Докажите, что за 35 ходов можно добиться того, чтобы сумма каждых двух чисел, стоящих в клетках с общей стороной, была составной.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111852  (#07.5.8.3)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На стороне BC ромба ABCD выбрана точка M. Прямые, проведённые через M перпендикулярно диагоналям BD и AC, пересекают прямую AD в точках P и Q соответственно. Оказалось, что прямые PB, QC и AM пересекаются в одной точке. Чему может быть равно отношение  BM : MC?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями