Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a₁, ..., a_n, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111915  (#5)

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111916  (#6)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дано целое число  n > 1.  Двое игроков по очереди отмечают точки на окружности: первый – красным цветом, второй – синим (отмечать одну и ту же точку дважды нельзя). Когда отмечено по n точек каждого цвета, игра заканчивается. После этого каждый игрок находит на окружности дугу наибольшей длины с концами своего цвета, на которой больше нет отмеченных точек. Игрок, у которого найденная длина больше, выиграл (в случае равенства длин дуг, а также при отсутствии таких дуг у обоих игроков – ничья). Кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл противник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111917  (#1)

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Через терминал оплаты на мобильный телефон можно перевести деньги, при этом взимается комиссия – натуральное число процентов. Федя положил целое количество рублей на мобильный телефон, и его счет пополнился на 847 рублей. Сколько денег положил на счет Федя, если известно, что комиссия менее 30%?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111923  (#1)

Темы:   [ Производная и кратные корни ] [ Производная и экстремумы ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Когда из бассейна сливают воду, уровень h воды в нём меняется в зависимости от времени t по закону

h(t)=at²+bt+c,
а в момент t₀ окончания слива выполнены равенства h(t₀)=h'(t₀)=0 . За сколько часов вода из бассейна сливается полностью, если за первый час уровень воды в нём уменьшается вдвое?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111918  (#2)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Дана такая возрастающая бесконечная последовательность натуральных чисел a₁, ..., a_n, ..., что каждый её член является либо средним арифметическим, либо средним геометрическим двух соседних. Обязательно ли с некоторого момента эта последовательность становится либо арифметической, либо геометрической прогрессией?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями