Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дана замкнутая пространственная ломаная с вершинами A₁, A₂, ..., A_n, причём каждое звено пересекает фиксированную сферу в двух точках, а все вершины ломаной лежат вне сферы. Эти точки делят ломаную на 3n отрезков. Известно, что отрезки, прилегающие к вершине A₁, равны между собой. То же самое верно и для вершин A₂, A₃, ..., A_{n - 1}. Доказать, что отрезки, прилегающие к вершине A_n, также равны между собой.

   Решение

---

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными рейсами одной из N авиакомпаний, причём из каждого города есть ровно по одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из каждого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт  N – 1  рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по-прежнему из каждого города можно долететь до любого другого.

   Решение

---

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что ABCD – квадрат?

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115901  (#9.5)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На окружности отметили n точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.
Найдите все значения n, при которых это возможно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115902  (#9.6)

Темы:   [ Две пары подобных треугольников ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В треугольнике ABC  AB – BC = .  Пусть M – середина стороны AC, а BN – биссектриса.  Докажите, что  ∠BMC + ∠BNC = 90°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115903  (#9.7)

Темы:   [ Пересекающиеся окружности ] [ Окружности (построения) ] [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Даны две пересекающиеся окружности с центрами O₁, O₂. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой O₁O₂ на наибольшее расстояние.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115904  (#9.8)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Окружности, вписанные в сегмент ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что ABCD – квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115865  (#1)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Точки B₁ и B₂ лежат на луче AM, а точки C₁ и C₂ на луче AK. Окружность с центром O вписана в треугольники AB₁C₁ и AB₂C₂.
Докажите, что углы B₁OB₂ и C₁OC₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями