Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]

Задача 116275 (#1)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Толпыго А.К.

У барона Мюнхгаузена есть 50 гирь. Веса этих гирь – различные натуральные числа, не превосходящие 100, а суммарный вес гирь – чётное число. Барон утверждает, что нельзя часть этих гирь положить на одну чашу весов, а остальные – на другую чашу так, чтобы весы оказались в равновесии. Могут ли эти слова барона быть правдой?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116281 (#2)

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Малкин М.И.

В пространстве с декартовой системой координат дан прямоугольный параллелепипед, вершины которого имеют целочисленные координаты. Его объём равен 2011. Докажите, что рёбра параллелепипеда параллельны координатным осям.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116282 (#3)

Темы:	[	Прямая призма	]
	[	Свойства сечений	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Авторы: Шаповалов А.В., Сергеев П.В.

От балки в форме треугольной призмы с двух сторон отпилили (плоской пилой) по куску. Спилы не задели ни оснований, ни друг друга.
а) Могут ли спилы быть подобными, но не равными треугольниками?
б) Может ли один спил быть равносторонним треугольником со стороной 1, а другой – равносторонним треугольником со стороной 2?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116283 (#4)

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
Темы:	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Даны N синих и N красных палочек, причём сумма длин синих палочек равна сумме длин красных. Известно, что из синих палочек можно сложить N-угольник, и из красных – тоже. Всегда ли можно выбрать одну синюю и одну красную палочки и перекрасить их (синюю – в красный цвет, а красную – в синий) так, что снова из синих палочек можно будет сложить N-угольник, и из красных – тоже? Решите задачу
а) для N = 3;
б) для произвольного натурального N > 3.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116284 (#5)

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD являются соответственно хордами окружностей ω₁ и ω₂, касающихся друг друга внешним образом. Градусные меры касающихся дуг AB и CD равны α и β. Окружности ω₃ и ω₄ также имеют хорды AB и CD соответственно. Их дуги AB и CD, расположенные с той же стороны от хорд, что соответствующие дуги первых двух окружностей, имеют градусные меры β и α. Докажите, что ω₃ и ω₄ тоже касаются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]