Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 10¹⁰, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?

   Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]      

Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, большие 10¹⁰, что их произведение делится на любое из них, увеличенное на 2012?

Прислать комментарий

Решение

На координатной плоскости нарисовано n парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более  2(n – 1)  углов (то есть точек пересечения пары парабол).

Прислать комментарий

Решение

Точка E – середина отрезка, соединяющего ортоцентр неравнобедренного остроугольного треугольника ABC с его вершиной A. Вписанная окружность этого треугольника касается сторон AB и AC в точках C' и B' соответственно. Докажите, что точка F, симметричная точке E относительно прямой B'C', лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]