Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 [Всего задач: 69]

Задача 116891

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

В футбольном чемпионате участвуют 18 команд. На сегодняшний день проведено 8 туров (в каждом туре все команды разбиваются на пары и в каждой паре команды играют друг с другом, причём пары не повторяются). Верно ли, что найдутся три команды, которые не сыграли ни одного матча между собой?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116992

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ромбы. Признаки и свойства	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

В треугольнике АВС проведена биссектриса АА₁. Докажите, что серединный перпендикуляр к АА₁, перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А₁, и прямая АО (О – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116995

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Точка Торричелли	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

В треугольнике ABC угол B равен 60°. Точка D внутри треугольника такова, что ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC.
Найдите наименьшее значение площади треугольника ABC, если BD = a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116996

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Фольклор

Существуют ли 2013 таких различных натуральных чисел, что сумма каждых двух из них делится на их разность?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 [Всего задач: 69]