Даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

   Решение

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA₁ и BB₁. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда  AB₁ : AC = BA₁ : BC.

   Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 1956]      

Даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что середины четырех общих касательных к двум непересекающимся кругам лежат на одной прямой.
б) Через две из точек касания общих внешних касательных с двумя окружностями проведена прямая. Докажите, что окружности высекают на этой прямой равные хорды.

Прислать комментарий

Решение

На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C опущен перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хорда окружности S и окружности S₁ с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA₁ и BB₁. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда  AB₁ : AC = BA₁ : BC.

Прислать комментарий

Решение

Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD и EF имеют общую радикальную ось, причем на ней лежат ортоцентры треугольников  ABE, CDE, ADF и BCF.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 1956]