Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а)  d² = R² - 2Rr, где d = OI;
б)  d_a² = R² + 2Rr_a, где d_a = OI_a.

   Решение

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 1956]      

Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках P и Q. Расстояния от точек P, Q и A до некоторой касательной к этой окружности равны u, v и w. Докажите, что  uv/w² = sin²(A/2).

Прислать комментарий

Решение

а) На стороне AB треугольника ABC взята точка P. Пусть r, r₁ и r₂ — радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCP и ACP; h — высота, опущенная из вершины C. Докажите, что r = r₁ + r₂ - 2r₁r₂/h.
б) Точки A₁, A₂, A₃,... лежат на одной прямой (в указанном порядке). Докажите, что если радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_{i + 1} равны одному и тому же числу r₁, то радиусы вписанных окружностей всех треугольников BA_iA_{i + k} равны одному и тому же числу r_k.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот треугольника ABC относительно его сторон, лежат на описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Из точки P дуги BC описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PX, PY и PZ на BC, CA и AB соответственно. Докажите, что  = + .

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности, I_a — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а)  d² = R² - 2Rr, где d = OI;
б)  d_a² = R² + 2Rr_a, где d_a = OI_a.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 1956]