Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 1956]

Задача 56842 (#05.012B)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности. Докажите, что OB $\bot$ BI (или же O совпадает с I) тогда и только тогда, когда b = (a + c)/2.

Прислать комментарий Решение

Задача 56843 (#05.012)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Продолжения биссектрис углов треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A₁, B₁ и C₁; M — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

a) $\displaystyle {\frac{MA\cdot MC}{MB_1}}$ = 2r; б) $\displaystyle {\frac{MA_1\cdot MC_1}{MB}}$ = R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56844 (#05.013)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

Длины сторон треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причем a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B₁. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB₁ пополам.

Прислать комментарий Решение

Задача 56845 (#05.014)

Тема:

[

Вписанные и описанные окружности

]

Сложность: 5
Классы: 8

В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56846 (#05.015B)

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Шестиугольники	]

Сложность: 8+
Классы: 9,10,11

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 70 71 72 73 74 75 76 >> [Всего задач: 1956]