ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 5. Треугольники >> параграф 8. Теорема Чевы
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Калинин Д.А.

Укажите пять целых положительных чисел, сумма которых равна 20, а произведение — 420.

Вниз   Решение

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$.


б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что  $ \angle$CAM = $ \angle$ABN и  $ \angle$CBM = $ \angle$BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

В выпуклом пятиугольнике проведены все диагонали. Каждая вершина и каждая точка пересечения диагоналей окрашены в синий цвет. Вася хочет перекрасить эти синие точки в красный цвет. За одну операцию ему разрешается поменять цвет всех окрашенных точек, принадлежащих либо одной из сторон либо одной из диагоналей на противоположный (синие точки становятся красными, а красные – синими). Сможет ли он добиться желаемого, выполнив какое-то количество описанных операций?

ВверхВниз   Решение

Автор: Митягин А.Ю.

В записи *1*2*4*8*16*32*64 = 27 вместо знаков ''*'' поставьте знаки ''+'' или ''-'' так, чтобы равенство стало верным.

ВверхВниз   Решение

Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению  sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

ВверхВниз   Решение

Подряд без пробелов выписали все чётные числа от 12 до 34. Получилось число 121416182022242628303234. Делится ли оно на 24?

ВверхВниз   Решение

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A1. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A1, а стороны BC — в точке A2. Точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      

  с решениями  

Задача 56929

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Через точки A и D, лежащие на окружности, проведены касательные, пересекающиеся в точке S. На дуге AD взяты точки B и C. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, AB и CD — в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через точку S.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56930

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Вписанная окружность треугольника ABC касается его сторон в точках A1, B1 и C1. Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает дугу B1C1 вписанной окружности в точке A2; точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые A1A2, B1B2 и C1C2 пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56931

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямая AX пересекает описанную окружность в точке A1. В сегмент, отсекаемый стороной BC, вписана окружность, касающаяся дуги BC в точке A1, а стороны BC — в точке A2. Точки B2 и C2 определяются аналогично. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56932

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

а) На сторонах BC, CA и AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки A1, B1 и C1 так, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{AC_1}{C_1B}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin ABB_1\sin CAA_1}{\sin BAA_1\sin CBB_1}}$.


б) Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием AB взяты точки M и N так, что  $ \angle$CAM = $ \angle$ABN и  $ \angle$CBM = $ \angle$BAN. Докажите, что точки C, M и N лежат на одной прямой.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56933

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 6+
Классы: 9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1, BB1 и CC1. Биссектрисы AA1 и CC1 пересекают отрезки C1B1 и B1A1 в точках M и N. Докажите, что  $ \angle$MBB1 = $ \angle$NBB1.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .