параграфы:
-
Вводные задачи
(4 задачи)
параграф 1. Вписанная и описанная окружности
(17 задач)
параграф 2. Прямоугольные треугольники
(10 задач)
параграф 3. Правильный треугольник
(7 задач)
параграф 4. Треугольники с углами 60 и 120 градусов
(7 задач)
параграф 5. Целочисленные треугольники
(6 задач)
параграф 6. Разные задачи
(21 задача)
параграф 7. Теорема Менелая
(16 задач)
параграф 8. Теорема Чевы
(20 задач)
параграф 9. Прямая Симсона
(15 задач)
параграф 10. Подерный треугольник
(8 задач)
параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек
(10 задач)
параграф 12. Точки Брокара
(11 задач)
параграф 13. Точка Лемуана
(17 задач)
Задачи для самостоятельного решения
(7 задач)
Фильтр
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи
а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что
ABP = CAP = BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).
Решение
Убрать все задачи
а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует такая точка P, что
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).
Решение
Задачи
Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 176]
В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1
и CC1. Пусть
A1A2, B1B2 и C1C2 — диаметры окружности
девяти точек треугольника ABC. Докажите, что прямые AA2, BB2
и CC2 пересекаются в одной точке (или параллельны).
а) Докажите, что внутри треугольника ABC существует
такая точка P, что
ABP = CAP = BCP.
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).
а) Через точку Брокара P треугольника ABC
проведены прямые AP, BP и CP, пересекающие описанную окружность в
точках A1, B1 и C1. Докажите,
что
ABC = B1C1A1.
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)
а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC.
Угол
= 
ABP = BCP = CAP называется углом Брокара
этого треугольника. Докажите, что
ctg = ctg
+ ctg
+ ctg
.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A1AC.
а) Докажите, что угол Брокара любого треугольника
не превосходит
30o.
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит 30o.
Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 176]
Задача 56966 (#05.114) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 56967 (#05.115) |
|
|
б) На сторонах треугольника ABC внешним образом построены подобные ему треугольники CA1B, CAB1 и C1AB (углы при первых вершинах всех четырех треугольников равны и т. д.). Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке, причем эта точка совпадает с точкой задачи а).
|
|
|
Решение |
Задача 56968 (#05.116) |
|
|
б) Треугольник ABC вписан в окружность S. Докажите, что треугольник, образованный точками пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью S, может быть равен треугольнику ABC не более чем для восьми различных точек P. (Предполагается, что точки пересечения прямых PA, PB и PC с окружностью отличны от точек A, B и C.)
|
|
|
Решение |
Задача 56969 (#05.117) |
|
|
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A1. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A1AC.
|
|
|
Решение |
Задача 56970 (#05.118) |
|
|
б) Внутри треугольника ABC взята точка M. Докажите, что один из углов ABM, BCM и CAM не превосходит 30o.
|
|
|
Решение |
Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 176]
