Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 84]

Задача 58503 (#31.036)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Из точки O проведены касательные OA и OB к параболе с фокусом F. Докажите, что $\angle$ AFB = 2 $\angle$ AOB, причем луч OF — биссектриса угла AFB.

Прислать комментарий Решение

Задача 58504 (#31.037)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Докажите, что касательные OA и OB к параболе перпендикулярны тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
(а) отрезок AB проходит через фокус параболы;
(б) точка O лежит на директрисе параболы.

Прислать комментарий Решение

Задача 58505 (#31.038)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Касательные к параболе в точках $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ образуют треугольник ABC (рис.). Докажите, что:
а) описанная окружность треугольника ABC проходит через фокус параболы;
б) высоты треугольника ABC пересекаются в точке, лежащей на директрисе параболы;
в) $S_{\alpha\beta\gamma}=2S_{ABC}$ ;
г) $\sqrt[3]{S_{\alpha\beta C}}+\sqrt[3]{S_{\beta\gamma A}}= \sqrt[3]{S_{\alpha\gamma B}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 58506 (#31.039)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Прямая l получена из директрисы параболы гомотетией с центром в фокусе параболы и коэффициентом 2. Из точки O прямой l проведены касательные OA и OB к параболе. Докажите, что ортоцентром треугольника AOB служит вершина параболы.

Прислать комментарий Решение

Задача 58507 (#31.040)

Тема:

[

Кривые второго порядка

]

Сложность: 3
Классы: 10

Пучок параллельных лучей света, отразившись от кривой C, сходится в точке F. Докажите, что C — парабола с фокусом F и осью, параллельной лучам света.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 84]