Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 1255]

Задача 60671 (#04.045)

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
Темы:	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если p – простое число, то (a + b)^p – a^p – b^p делится на p при любых целых a и b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60672 (#04.046)

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Прислать комментарий

Решение

Задача 103964 (#04.047)

[Делимость на n]

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

Прислать комментарий Решение

Задача 60674 (#04.048)

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что среди любых десяти последовательных натуральных чисел найдётся число, взаимно простое с остальными.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60675 (#04.049)

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

На 99 карточках пишутся числа 1, 2, ..., 99. Затем карточки тасуются и раскладываются чистыми сторонами вверх. На чистых сторонах карточек снова пишутся числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки числа, стоящие на ней, складываются и 99 полученных сумм перемножаются. Докажите, что в результате получится чётное число.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 1255]