Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 207 208 209 210 211 212 213 >> [Всего задач: 1255]

Задача 61333 (#09.083)

[Метод Лобачевского]

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Итерации	]
	[	Теорема Виета	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть многочлен P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀ имеет корни x₁, x₂, ..., x_n, причем |x₁| > |x₂| > ... > |x_n|. В задаче 60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов P₀(x), P₁(x), P₂(x), ..., что P₀(x) = P(x) и многочлен P_k(x) имеет корни Пусть Докажите, что

а)

б)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61334 (#09.084)

[Метод Лобачевского и числа Люка]

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Итерации	]
	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена x² – x – 1. Какие последовательности будут сходиться к корням x₁ и x₂, если |x₁| > |x₂|?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61335 (#09.085)

[Метод Архимеда]

Темы:	[	Окружности (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через P_n (для описанного) и p_n (для вписанного).
   а) Найдите P₄, p₄, P₆ и p₆.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P_2n = ,        p_2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P₉₆ и p₉₆. Докажите неравенства   3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61336 (#09.086)

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Тригонометрия (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Докажите равенство

$\displaystyle {\frac{2}{\pi}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}}$ ...

Прислать комментарий

Решение

Задача 61337 (#09.087)

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Производная и касательная	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Последовательность чисел x₀, x₁, x₂,...задается условиями

x₀ = 1, x_{n + 1} = a^x_n (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 207 208 209 210 211 212 213 >> [Всего задач: 1255]