Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]

Задача 65071

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Кожевников П.А.

Даны натуральные числа a и b, причём a < 1000. Докажите, что если a²¹ делится на b¹⁰, то a² делится на b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65072

Тема:

[

Четность и нечетность

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Женодаров Р.Г.

Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65073

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Волченков С.Г.

В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65076

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Волченков С.Г.

Занумеруем все простые числа в порядке возрастания: p₁ = 2, p₂ = 3, ... .
Может ли среднее арифметическое при каком-нибудь n ≥ 2 быть простым числом?

Прислать комментарий

Решение

Задача 65086

Темы:	[	Трапеции (прочее)	]
Темы:	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Женодаров Р.Г.

В выпуклом четырёхугольнике ABCD AD = АВ + CD. Оказалось, что биссектриса угла А проходит через середину стороны ВС.
Докажите, что биссектриса угла D также проходит через середину ВС.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]