Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 24]
Задача
65698
(#9.6)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Назовём непустое (конечное или бесконечное) множество A, состоящее из натуральных чисел, полным, если для любых натуральных a и b (не обязательно различных и не обязательно лежащих в A), при которых a + b лежит в A, число ab также лежит в A. Найдите все полные множества натуральных чисел.
Задача
65703
(#10.6)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Внутри равнобокой трапеции ABCD с основаниями BC и AD расположена окружность ω с центром I, касающаяся отрезков AB, CD и DA. Описанная окружность треугольника BIC вторично пересекает сторону AB в точке E. Докажите, что прямая CE касается окружности ω.
Задача
65709
(#11.6)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.
Задача
65711
(#9.7)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
В белой таблице 2016×2016 некоторые клетки окрасили чёрным. Назовём натуральное число k удачным, если k ≤ 2016, и в каждом из клетчатых квадратов со стороной k, расположенных в таблице, окрашено ровно k клеток. (Например, если все клетки чёрные, то удачным является только число 1.) Какое наибольшее количество чисел могут быть удачными?
Задача
65713
(#10.7)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
По кругу стоят n мальчиков и n девочек. Назовём пару из мальчика и девочки хорошей, если на одной из дуг между ними стоит поровну мальчиков и девочек (в частности, стоящие рядом мальчик и девочка образуют хорошую пару). Оказалось, что есть девочка, которая участвует ровно в 10 хороших парах. Докажите, что есть и мальчик, который участвует ровно в 10 хороших парах.
Страница:
<< 1 2 3 4
5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
Решение 
